かえうちパートナーがかえうちごとハングする問題

ご不便おかけしております。
まずOSやIMEなど、ご使用の環境を教えていただけますか？

かえうち と かえうちパートナー は通信を除いて基本的に独立して動いているので、通常の動作の範囲内では片方のハングが他方に波及することは考えにくいです。かえうちパートナーのハングによって かえうち からだけでなくUSBキーボードからの入力全体が止まるというパターンならありそうです。

ハング時に かえうち のすべての機能が止まるのか（かえうちのLED点灯/消灯操作もできなくなるのか）、ハング時に かえうち 経由以外のキーボード入力には支障がないのか、使用するIMEやフォーカスの当たっているソフトウェア、キー入力中であるかなど操作内容とハングが起きるタイミングに関連があるかなどを教えていただけると助かります。

まさにこのパターンで、全ての機能が止まり、リセットも効かないため抜き差しが必要になります。
キーボードからの全ての入力がとまる感じです。

「キーボードからの全ての入力」とは、かえうちを介さないキーボード入力も含みますか？

カスタマイズしたキー配列に、オレンジ色の記号は含まれていますか？（オレンジの記号は、かえうち本体→PC のキー入力に特殊な方法を使用しています。） その記号を入力したときに入力できなくなるということはありますか？

実質的にかえうちパートナーの動作が必須

かえうちパートナーのどの機能について必須と仰っているのか分かりませんが、かえうちパートナー無しで使用する場合は かえうち からの入力ができなくなる問題が起きないということでしょうか？

問題の本質とは異なりますが。

かえうちですが、かえうちパートナーが存在しないときはなぜか設定通りに吐き出してくれない

おそらく日本語入力のモードずれ問題の対策を行っていないことが原因だと思われます。
（参考：日本語入力ON/OFF（モードずれ問題））
IME ON/OFFキー操作で、Windows側の入力モードを切り替えると同時に、かえうち の配列面切り替えを行うようにすると、（上記リンクにあるような問題は残りますが）少なくとも かえうちパートナー が必須ではなくなります。