[Mac/Apple Keyboard]キーボードのデフォルトのショートカットが無効になる

・F1とF2キーで画面の明るさ調整ができたのが、F1からF12まで、ほとんど無効になるか別の機能が割り当てられてしまった。

Apple製キーボードは世代によって微妙にF1～F12キーの機能を変更することがあり、それを吸収するためか、macOSは接続しているキーボードがApple製の場合は世代に合わせてFキーの機能を変更しているようです。
かえうちを介して接続している場合は、macOSからは一般的な（Apple以外の）JISキーボードに見えます。Fキーの機能はApple以外のUSBキーボードを接続したときと同じになります。
何らかの方法でApple製キーボードだと偽装すれば動作するようになるかもしれませんが、Apple製キーボードの仕様が公開されていないので技術的に可能かも分かりません。

・ブラウザで文字検索をするとき、command+Fで検索フォームを出せたのが、無効になってしまった。
・command+tabで起動中のアプリケーションの切り替えができたのが、できなくなってしまった（commandボタンが無視され、ブラウザ内でのtab機能として動いてしまっている）。

カスタマイズの内容によると思います。カスタマイズファイルを添付していただけると原因が分かるかもしれません。

カスタマイズ拝見しました。
左右Commandキーの位置（カスタマイズ画面上はLGUI, RGUI）に[マクロA英数][マクロAかな]が置かれているのが原因です。単独押しかどうかに関わらず、完全にマクロの機能に置き換わっています。

左右Commandの単独押しで日本語入力をON/OFFしたいのだと推測します。
残念ながら修飾キーの単独押しのみに別の機能を割り当てることはできません。左右CommandキーにユーザーMOD(通常シフト)を指定し、単独押しにマクロを設定、切り替え先配列面にCommandを付加したキー配列を設定することで近いことは実現できます。

起動時やスリープ復帰で動作しない際は、かえうち のLED表示はどうなっていますか？
USB端子の接触不良の可能性もあるので、接点復活剤等の利用もご検討ください。